ANUALIDADES DIFERIDAS

ANUALIDADES ANTICIPADAS

Según los pagos

Cuando los pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada periodo. Se presenta cuando se deposita cada mes un capital en una cuenta bancaria comenzando desde la apertura. Para hallar el monto de una anualidad anticipada, a cada renta se le agregan los intereses que dependen del número de periodos que haya entre la renta y el final del plazo. Por lo tanto, la formula del interés compuesto se emplea para cada monto parcial, sumándose y obteniendo una formula general.

Cabe señalar que cualquier anualidad se resuelve aplicando apropiadamente esta fórmula general, ya que si se obtiene un valor propio equivalente a toas las rentas, al termino del plazo este se traslada a cualquier otra fecha con l formula del integres compuesto.

Monto de una anualidad anticipada

Ejemplo de una deducción de formula general.

Obtén el monto que se acumula en cada mes en un banco que abona una tasa del 24% anual capitalizable por meses.

La anualidad es simple por que coincide la frecuencia de convención y la de p; es cierta por que se conoce el numero de rentas; es inmediata por que desde el primer periodo se hacen los depósitos y es anticipada por que estos últimos se realizan al principio de cada periodo mensual. Generando en el primer depósito intereses durante 24 periodos mensuales; el segundo durante 23 meses y así sucesivamente hasta el último que gana solamente durante un mes.

Por lo tanto. Los montos parciales son respectivamente.

El valor futuro o monto de la anualidad es la suma de todos los anteriores que en orden inverso es:

Se factoriza la renta $1.500, y lo que queda entre los corchetes corresponde a los términos de una progresión geométrica cuyo primer término es , la razón es r= 1.02 y el número de términos es m=24 Por tanto:

                                            

La suma, según la ecuación:

Si se sustituye este resultado en al ecuación anterior, se tendrá que el monto total es

Para generalizar note que el segundo término y la razón son:

Y el número de términos es le numero de rentas:

La suma es, entonces

El monto acumulado de np depósitos anticipados en las anualidades simples y ciertas es:

R es el pago periódico, n es el plazo en años e i es la tasa de interés anual capitalizable e p periodos por año.

 

Los valores a remplazar por las literales son:


R= 1.500 la renta mensual

p= 12. La frecuencia de conversión y la de pagos, son mensuales

n= 2, los años del plazo

np= 24, el total de rentas

i= 0.24 la tasa de interés anual capitalizable por meses

i/p= 0.02, la tasa por periodo mensual. Entonces,

Plazo en inversiones

¿En cuanto tiempo se acumula $10.000en una cuanta bancaria que paga intereses del 27.04% anual capitalizable por semanas, si se depositan $300 al inicio de cada semana?

 

M = $10.000, el monto de la anualidad

R= $300, la renta semanal

I = 0.2704, la tasa anual compuesta por semanas
p = 52, la frecuencia de conversión y de pagos, es el numero de semanas por año

i/p = 0.2704/52 0.0052, la tasa semanal capitalizable por semanas
La incógnita es n, el plazo en años o np = x, el numero de rentas

Se divide entre 300(1.0052), se multiplica por 0.0052 y se suma la unidad a los dos lados de la ecuación

De donde

                                                              

Si la incógnita esta en el exponente la ecuación se resolverá con logaritmos, ya que “si dos números positivos son iguales entonces sus logaritmos son iguales”. Es decir:

Puesto que x= np, el numero de rentas debe ser un entero, esto deberá redondearse a 31, o 30, dando lugar a que la renta semanal, o el monto varie un poco.

Por ejemplo con np= 31 resulta que la renta es:

Tasa nominal quincenal y recuperación de pagare

¿Que tasa de interés capitalizable por quincenas le están cargando a la señora de Ramírez, si para recuperar un pagare con valor nominal de $ 13.250, incluidos los intereses, hace 15 pagos quincenales anticipados de $ 800?

Se trata de una anualidad anticipada donde:

 

En busca de un valor que sea menor que 16.5625 que corresponde a np= 15.El resultado obtenido para la tasa  con mas presicion para encontrarlo sin el uso de tablas, se procede con iteraciones dando a x valores sucesivos hasta alcanzar la precisión deseada.

Simplificando la ecuación anterior multiplicándola con x y otras operaciones algebraicas.

Si con x = 0.01 resulto menor que 1 y con x= 0.02 quedo mayor que 1, entonces el valor que se busca para x debe estar entre 0.01 y 0.02, argumento que sirve para continuar con las iteraciones.

Tasa variable

¿Cuánto se acumula en una cuenta de ahorro con 32 pagos quincenales de $625 cada uno si la tasa de interés nominal quincenal en los primeros 5 meses es del 22.32% y después aumenta al 2.4 puntos porcentuales por año cada trimestre?

¿Cuánto se genera por concepto de interés?

Considerando 4 anualidades de 10, 8, 8 y 6 rentas quincenales cada una.


El monto de la primera anualidad puesto que la tasa es por quincena es

Que se traslada hasta el final de la segunda anualidad empleando la formula del interés compuesto, con la nueva tasa que es 2.4 puntos mayor que la primera.

Este monto se suma con el monto acumulado

El acumulado de la renta primera es

Que también se traslada con la nueva tasa, la del tercer grupo de rentas, hasta el final de la tercera anualidad, 8 quincenas después

Monto que se suma al del tercer grupo de rentas

En el acumulado de los 26 depósitos al termino de la tercera anualidad. Este monto se lleva hasta la fecha terminal del plazo y finalmente se suma con el montode la última que es de 6 quincenas

La tasa de interés anual es ahora

En consecuente al monto acumulado en los 32 depósitos quincenales en la cuenta de ahorro la final del plazo es:

Los interese es la diferencia entre el monto y el total invertido en los 32 pagos quincenales:

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Fuente de Informacion
Villalobos, Jose L. Matematicas Financieras,2° Edición
Editorial, Prentice Hall.